Till dig som är elevVälj din årskurs högst upp, så får du tips som passar dig.
Det här lär du dig
Du använder likformighet för att räkna ut höjder med skuggor och sidor i en topptriangel. Du lär dig också hur arean och volymen ändras när en figur förstoras.
Så kan du tänka
- Rita en figur och leta efter två trianglar med samma vinklar.
- En linje som är parallell med en sida skär av en likformig topptriangel.
- En pinne och ett träd med sina skuggor bildar likformiga trianglar.
- Blir alla sträckor k gånger så långa blir arean k² och volymen k³ gånger så stor.
Se upp för
- I en topptriangel ska du jämföra med hela den stora sidan, inte bara biten under linjen.
- Dubbel längd ger inte dubbel area. Arean blir 4 gånger så stor och volymen 8 gånger.
- Räkna i samma enhet för alla sträckor.
Kolla själv
- En pinne på 1 m har en 2 m lång skugga. Ett träd har en 12 m lång skugga. Hur högt är trädet?
- AD = 4 cm, DB = 4 cm och DE = 5 cm. Hur lång är BC?
- Sidorna blir 3 gånger så långa. Hur många gånger större blir arean?
Genomgång
Två figurer är likformiga om de har samma form men kanske olika storlek. Den ena är en förstoring eller förminskning av den andra.
Med likformighet kan du räkna ut sträckor som du inte kan mäta, till exempel hur högt ett träd är. Här tar vi en sak i taget.
Kongruenta: samma form och samma storlek.Skalfaktor = ny sida / motsvarande gammal sida
Ny sida = skalfaktor · gammal sidaAreaskala = k²
Volymskala = k³
Exempel
Sidorna 6 cm och 9 cm motsvarar varandra → skalfaktor 9 / 6 = 1,5
Skalfaktor 3 → arean 3² = 9 gånger så stor
Likformiga figurer
Likformiga figurer har lika stora vinklar. Alla sidor i den ena är lika många gånger så långa som motsvarande sidor i den andra.
Motsvarande sidor ligger på samma plats i figurerna, till exempel mellan samma vinklar.
Exempel12 / 6 = 2, 8 / 4 = 2 och 10 / 5 = 2.
Alla sidor är 2 gånger så långa, så trianglarna är likformiga.Skalfaktorn
Talet som sidorna multipliceras med kallas skalfaktor. Dela en sida i den nya figuren med motsvarande sida i den gamla.
Är skalfaktorn större än 1 blir figuren större. Är den mindre än 1 blir figuren mindre.
Exempel9 / 6 = 1,5. Skalfaktorn är 1,5.
Kontroll: 1,5 · 4 = 6 och 1,5 · 5 = 7,5.Räkna ut en okänd sida
Leta upp ett par motsvarande sidor där du vet båda längderna. Räkna ut skalfaktorn. Multiplicera sedan den kända sidan med skalfaktorn.
ExempelSkalfaktorn är 15 / 6 = 2,5.
x = 2,5 · 4 = 10 cmKongruenta figurer
Två figurer är kongruenta om de har samma form och samma storlek. De kan vara vridna eller spegelvända, men går att lägga precis ovanpå varandra.
Kongruenta figurer är likformiga med skalfaktorn 1.
ExempelTvå trianglar har båda sidorna 6, 4 och 5 cm. De är kongruenta, även om den ena är spegelvänd.Skuggor och höjder Åk 9
Solen lyser lika snett på allt som står nära varandra. Därför bildar en pinne och dess skugga en triangel som är likformig med ett träd och dess skugga.
ExempelSkalfaktorn är 10 / 2 = 5.
Trädets höjd: x = 5 · 1,5 = 7,5 mTopptriangeln Åk 9
Om en linje i en triangel är parallell med en sida, så skär den av en mindre triangel upptill. Den har samma vinklar som hela triangeln och är alltså likformig med den.
Se upp: jämför den lilla sidan med hela den stora sidan, inte bara med biten under linjen.
ExempelAB = 4 + 4 = 8 cm. Skalfaktorn är 8 / 4 = 2.
BC = 2 · 5 = 10 cmArea och volym Åk 9
När alla sträckor blir k gånger så långa blir arean k² gånger så stor, eftersom både längden och bredden växer. Volymen blir k³ gånger så stor.
ExempelEn bild förstoras så att sidorna blir 3 gånger så långa.
Arean blir 3² = 9 gånger så stor.
Exempel steg för steg
Exemplen går från lätt till svårt. Läs igenom lösningen och prova sedan själv i övningen.
- Den lilla triangeln har sidorna 3, 4 och 6 cm. I en likformig, större triangel är den kortaste sidan 9 cm. Hur lång är den längsta sidan?LösningDen kortaste sidan motsvarar den kortaste: 9 / 3 = 3. Skalfaktorn är 3.
Den längsta sidan motsvarar den längsta: 3 · 6 = 18 cmSvar: 18 cm - Två rektanglar är 2 × 5 cm och 4 × 8 cm. Är de likformiga?LösningEtt vanligt fel är att bara titta på en sida. Jämför båda.
4 / 2 = 2 men 8 / 5 = 1,6. Sidorna har inte växt lika mycket.Svar: Nej, de är inte likformiga. - Två trianglar är likformiga. I den lilla triangeln är två av vinklarna 50° och 85°. Hur stor är den tredje vinkeln i den stora triangeln?LösningVinkelsumman i en triangel är 180°.
Den tredje vinkeln i den lilla: 180° − 50° − 85° = 45°
Likformiga trianglar har samma vinklar, så vinkeln är 45° även i den stora triangeln.Svar: 45 ° - En triangel med sidorna 12, 16 och 20 cm förminskas så att den kortaste sidan blir 9 cm. Hur lång blir den längsta sidan?LösningSkalfaktorn: 9 / 12 = 0,75. Den är mindre än 1 eftersom triangeln blir mindre.
Längsta sidan: 0,75 · 20 = 15 cmSvar: 15 cm - En sida i en triangel är 5 cm. I en likformig triangel är motsvarande sida 8 cm. En annan sida i den första triangeln är 10 cm. Hur lång är den sidan i den nya triangeln?LösningEtt vanligt fel är att tänka "8 är 3 mer än 5, så 10 blir 13". Likformighet betyder att man multiplicerar, inte lägger till.
Skalfaktorn: 8 / 5 = 1,6
1,6 · 10 = 16 cmSvar: 16 cm - Trianglarna är likformiga. Hur lång är sidan x i den högra triangeln?LösningBasen 8 cm motsvarar basen 4 cm.
Skalfaktorn: 4 / 8 = 0,5
x = 0,5 · 4 = 2 cmSvar: 2 cm - Leo är 1,6 m lång och kastar en 2 m lång skugga. Samtidigt kastar en flaggstång en 15 m lång skugga. Hur hög är flaggstången?LösningLeo och hans skugga bildar en triangel som är likformig med flaggstången och dess skugga.
Skalfaktorn: 15 / 2 = 7,5
Höjden: 7,5 · 1,6 = 12 mSvar: 12 m - I triangeln ABC är DE parallell med BC. AD = 3 cm, DB = 6 cm och DE = 4 cm. Hur lång är BC?LösningVanligt fel: 6 / 3 = 2, så BC = 8 cm. Men den lilla triangeln ska jämföras med hela den stora.
AB = 3 + 6 = 9 cm. Skalfaktorn: 9 / 3 = 3.
BC = 3 · 4 = 12 cmSvar: 12 cm - DE är parallell med BC. Hur lång är BC?LösningEftersom DE är parallell med BC har den lilla triangeln ADE samma vinklar som den stora triangeln ABC. De är likformiga.
Hela sidan AB = 4 + 2 = 6 cm
Skalfaktorn: AB / AD = 6 / 4 = 1,5
BC = 1,5 · DE = 1,5 · 10 = 15 cmSvar: 15 cm - En pizza har diametern 30 cm. En större pizza har diametern 45 cm. Hur många gånger så mycket pizza är den stora?LösningPizzorna är likformiga. Längdskalan: 45 / 30 = 1,5.
Arean växer med skalan i kvadrat: 1,5² = 2,25Svar: 2,25 gånger så mycket, inte 1,5. - En modellbil i skala 1:18 väger 0,5 kg. Den riktiga bilen är gjord av samma sorts material. Ungefär hur mycket skulle den väga?LösningVikten följer volymen. Volymskalan: 18³ = 18 · 18 · 18 = 5 832
0,5 · 5 832 = 2 916 kgSvar: ungefär 2 900 kg. Den riktiga bilen är ihålig, så den väger mindre i verkligheten. - En modell av en båt är byggd i skala 1:5. Modellens tank rymmer 0,5 liter. Hur många liter rymmer den riktiga tanken?LösningI verkligheten är alla sträckor 5 gånger så långa.
Volymen har tre dimensioner, så volymskalan är 5³ = 5 · 5 · 5 = 125
Volymen: 0,5 · 125 = 62,5 literSvar: 62,5 liter