πmatteverkstan.nu

Kvartiler och lådagram

Åk 8–9

Till dig som är elevVälj din årskurs högst upp, så får du tips som passar dig.

Det här lär du dig

Du hittar kvartilerna även när antalet värden är jämnt. Du jämför grupper med lådagram och lär dig hur ett avvikande värde påverkar variationsbredden.

Så kan du tänka

  • Jämnt antal: medianen är medelvärdet av de två mittersta. Halvorna blir lika stora.
  • Varje del av ett lådagram rymmer ungefär en fjärdedel av värdena. Bygger diagrammet på 40 värden är det ungefär 10 i varje del.
  • Jämför medianerna för att se vilken grupp som ligger högst och lådornas bredd för att se vilken som är mest utspridd.
  • Kvartilavståndet påverkas nästan inte av ett enda extremt värde.

Se upp för

  • Glöm inte att räkna medelvärdet när det inte finns något mittersta värde.
  • Lådan rymmer hälften av värdena, inte hälften av tallinjen.
  • Ett enda stort värde kan göra variationsbredden missvisande.

Kolla själv

  • Vad är medianen och kvartilerna för 2, 4, 5, 7, 8, 10?
  • Ett lådagram bygger på 28 värden. Ungefär hur många ligger över den övre kvartilen?
  • Vilket mått ändras mest om du byter det största värdet mot ett mycket större: variationsbredden eller kvartilavståndet?

Genomgång

Medianen berättar vad som är mitt i en mängd värden. Men den säger inget om hur utspridda värdena är. Då kan du använda kvartiler.

Kvartilerna delar värdena i fyra delar med lika många värden i varje. Med dem kan du rita ett lådagram, som visar på ett ögonblick var de flesta värdena ligger. Här tar vi en sak i taget.

Att komma ihågSortera först. Medianen delar värdena i två halvor.
Nedre kvartil = medianen i den nedre halvan
Övre kvartil = medianen i den övre halvanKvartilavstånd = övre kvartil − nedre kvartil
Variationsbredd = största − minstaJämnt antal: medianen är medelvärdet av de två mittersta.

Exempel

2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 15 → nedre kvartil 5, median 8, övre kvartil 12
Kvartilavstånd 12 − 5 = 7, variationsbredd 15 − 2 = 13
3, 4, 6, 7, 9, 10, 12, 15 → nedre kvartil 5, median 8, övre kvartil 11

  1. Kvartiler

    Sortera värdena från minst till störst och leta upp medianen. Den delar värdena i en nedre och en övre halva. Är antalet udda räknas medianen inte till någon av halvorna.

    Medianen i den nedre halvan kallas nedre kvartil. Medianen i den övre halvan kallas övre kvartil.

    235678911121415nedre halvanövre halvannedre kvartilmedianövre kvartilQ1 = 5median = 8Q3 = 12
    Exempel
    2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 15
    Medianen är 8. Nedre halvan 2, 3, 5, 6, 7 ger nedre kvartilen 5.
    Övre halvan 9, 11, 12, 14, 15 ger övre kvartilen 12.

  2. Lådagram

    Ett lådagram ritas över en tallinje. Lådan går från den nedre till den övre kvartilen, och ett streck i lådan visar medianen. Från lådan går linjer ut till det minsta och det största värdet.

    Varje del av diagrammet rymmer ungefär en fjärdedel av värdena. Lådan rymmer alltså den mittersta hälften.

    0246810121416minsta 2Q1 5median 8Q3 12största 1525 %25 %25 %25 %
    Exempel
    Minsta 2, nedre kvartil 5, median 8, övre kvartil 12 och största 15.

  3. Kvartilavstånd

    Variationsbredden är skillnaden mellan det största och det minsta värdet. Kvartilavståndet är skillnaden mellan den övre och den nedre kvartilen. Det är lika med lådans bredd.

    Ju större kvartilavståndet är, desto mer utspridda är värdena i mitten.

    0246810121416kvartilavstånd 12 − 5 = 7variationsbredd 15 − 2 = 13
    Exempel
    Kvartilavstånd: 12 − 5 = 7
    Variationsbredd: 15 − 2 = 13

  4. Jämnt antal värden Åk 9

    Är antalet värden jämnt finns inget mittersta värde. Medianen blir medelvärdet av de två mittersta. Halvorna blir lika stora, och kvartilerna räknas ut på samma sätt i varje halva.

    34679101215(4 + 6) / 2 = 5(7 + 9) / 2 = 8(10 + 12) / 2 = 11Q1medianQ3
    Exempel
    3, 4, 6, 7, 9, 10, 12, 15
    Medianen: (7 + 9) / 2 = 8. Nedre kvartilen: (4 + 6) / 2 = 5. Övre kvartilen: (10 + 12) / 2 = 11.

  5. Jämföra lådagram Åk 9

    Lådagram passar bra när du vill jämföra två grupper. Rita dem över samma tallinje. Jämför medianerna för att se vilken grupp som ligger högst, och lådornas bredd för att se vilken som är mest utspridd.

    8A8B0102030405060min
    Exempel
    Båda klasserna har medianen 30 min.
    8A: kvartilavstånd 40 − 20 = 20 min. 8B: kvartilavstånd 35 − 25 = 10 min.
    I 8B läser eleverna ungefär lika länge. I 8A skiljer det mer.

  6. Avvikande värden Åk 9

    Ibland är ett värde mycket större eller mindre än de andra. Det gör variationsbredden stor. Kvartilavståndet påverkas nästan inte, eftersom det bara bygger på den mittersta hälften.

    avvikande värde 400510152025303540Variationsbredd 40 − 2 = 38, kvartilavstånd 12 − 5 = 7
    Exempel
    Byt 15 mot 40 i exemplet ovan.
    Variationsbredden blir 40 − 2 = 38. Kvartilerna är fortfarande 5 och 12, så kvartilavståndet är 7.

Exempel steg för steg

Exemplen går från lätt till svårt. Läs igenom lösningen och prova sedan själv i övningen.

  1. Lätt · Genomgånget exempel
    Ett lådagram går från 10 till 50. Lådan går från 20 till 35 och strecket i lådan står vid 30. Vad är medianen och kvartilavståndet?
    Lösning
    Strecket i lådan är medianen: 30.
    Lådan går från den nedre kvartilen 20 till den övre 35.
    Kvartilavstånd: 35 − 20 = 15
    Svar: Medianen är 30 och kvartilavståndet 15.
  2. Lätt · Genomgånget exempel
    I ett lådagram går linjerna från 4 till 28. Lådan går från 10 till 18. Vad är variationsbredden?
    Lösning
    Ett vanligt fel är att räkna lådans bredd. Variationsbredden går från det minsta till det största värdet, alltså hela diagrammet.
    28 − 4 = 24
    Svar: 24
  3. Lätt
    Lådagrammet visar antal minuter som eleverna läste läxor en kväll. Vad är kvartilavståndet?
    051015202530354045505560min
    Lösning
    Lådan går från den nedre kvartilen 20 till den övre 30.
    Kvartilavstånd: 30 − 20 = 10
    Svar: 10
  4. Medel · Genomgånget exempel
    Bestäm den nedre kvartilen för 12, 4, 9, 15, 7, 3, 10
    Lösning
    Sortera: 3, 4, 7, 9, 10, 12, 15
    Medianen är 9. Den räknas inte till någon halva.
    Nedre halvan: 3, 4, 7. Mittersta värdet är 4.
    Svar: 4
  5. Medel · Genomgånget exempel
    Bestäm kvartilavståndet för 18, 25, 6, 30, 11, 14, 22, 9, 27, 3, 20
    Lösning
    Sortera: 3, 6, 9, 11, 14, 18, 20, 22, 25, 27, 30
    Medianen är 18. Nedre halvan: 3, 6, 9, 11, 14, så nedre kvartilen är 9.
    Övre halvan: 20, 22, 25, 27, 30, så övre kvartilen är 25.
    Kvartilavstånd: 25 − 9 = 16
    Svar: 16
  6. Medel
    Bestäm kvartilavståndet för 27, 27, 4, 1, 17, 28, 4
    Lösning
    Sortera: 1, 4, 4, 17, 27, 27, 28
    Medianen: det mittersta värdet är 17
    Medianen räknas inte till någon halva.
    Nedre halvan: 1, 4, 4. Nedre kvartilen: det mittersta värdet är 4
    Övre halvan: 27, 27, 28. Övre kvartilen: det mittersta värdet är 27
    Kvartilavstånd: 27 − 4 = 23
    Svar: 23
  7. Svår · Genomgånget exempel
    Bestäm medianen och kvartilerna för 8, 2, 12, 5, 9, 15, 4, 11, 7, 14
    Lösning
    Det är 10 värden, ett jämnt antal. Sortera: 2, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 15
    Medianen: (8 + 9) / 2 = 8,5
    Nedre halvan: 2, 4, 5, 7, 8. Nedre kvartilen är 5.
    Övre halvan: 9, 11, 12, 14, 15. Övre kvartilen är 12.
    Svar: Nedre kvartil 5, median 8,5 och övre kvartil 12.
  8. Svår · Genomgånget exempel
    Bestäm kvartilavståndet för 6, 1, 9, 3, 12, 8, 4, 10
    Lösning
    Sortera: 1, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12
    Nedre halvan: 1, 3, 4, 6. Nedre kvartilen: (3 + 4) / 2 = 3,5
    Övre halvan: 8, 9, 10, 12. Övre kvartilen: (9 + 10) / 2 = 9,5
    Kvartilavstånd: 9,5 − 3,5 = 6
    Svar: 6
  9. Svår
    Antal minuter som eleverna läste läxor en kväll: 34, 53, 35, 7, 22, 39, 49, 60, 56, 28 min. Bestäm den nedre kvartilen, medianen och den övre kvartilen. De behövs för att rita ett lådagram.
    Lösning
    Sortera: 7, 22, 28, 34, 35, 39, 49, 53, 56, 60
    Medianen: de två mittersta är 35 och 39, så (35 + 39) / 2 = 37
    Nedre halvan: 7, 22, 28, 34, 35. Nedre kvartilen: det mittersta värdet är 28
    Övre halvan: 39, 49, 53, 56, 60. Övre kvartilen: det mittersta värdet är 53
    Svar: Nedre kvartil: 28, Median: 37, Övre kvartil: 53
  10. Avancerad · Genomgånget exempel
    Ett lådagram bygger på 40 elevers längder. Lådan går från 152 cm till 165 cm. Ungefär hur många elever är längre än 152 cm?
    Lösning
    Kvartilerna delar eleverna i fyra lika stora delar med 40 / 4 = 10 elever i varje.
    Under den nedre kvartilen 152 cm ligger en fjärdedel. Resten, tre fjärdedelar, är längre.
    3 · 10 = 30
    Svar: ungefär 30 elever
  11. Avancerad · Genomgånget exempel
    Två lag har spelat 9 matcher. Lag A har gjort 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5 mål. Lag B har gjort 0, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 12 mål. Vilket lag är jämnast?
    Lösning
    Variationsbredd: A har 5 − 1 = 4 och B har 12 − 0 = 12. B ser mycket ojämnare ut.
    Men B:s 12 mål är ett avvikande värde. Jämför kvartilavstånden i stället.
    A: nedre halvan 1, 2, 2, 3 ger 2. Övre halvan 3, 4, 4, 5 ger 4. Kvartilavstånd 4 − 2 = 2.
    B: nedre halvan 0, 1, 2, 2 ger 1,5. Övre halvan 3, 4, 4, 12 ger 4. Kvartilavstånd 4 − 1,5 = 2,5.
    Svar: Lag A är lite jämnare, men skillnaden är mycket mindre än variationsbredden visar.
  12. Avancerad
    Lådagrammet visar antal sms som eleverna skickade en dag. Det bygger på 32 värden. Ungefär hur många av värdena är mellan 6 och 12?
    0481216202428st
    Lösning
    Kvartilerna och medianen delar värdena i fyra delar med lika många i varje, ungefär 32 / 4 = 8.
    Lådan, från 6 till 12, rymmer ungefär hälften av värdena.
    32 / 2 = 16
    Svar: 16

Öva

Vad betyder klar?

En nivå är klar när du har svarat rätt 5 gånger på den. Svar efter att du har tittat på lösningen räknas inte.

Framstegen sparas bara i den här webbläsaren. Läs mer

Tyck till om Kvartiler och lådagramVar något krångligt, fel eller bra? Berätta för oss.

Skriv inte ditt namn eller något annat om dig själv.