Till dig som är elevVälj din årskurs högst upp, så får du tips som passar dig.
Det här lär du dig
Du använder skrivsättet f(x), löser ut x när du vet funktionens värde och räknar ut förändringstakt. Du läser också av grafer som inte är raka linjer.
Så kan du tänka
- f(5) betyder att du byter x mot 5.
- f(x) = 20 blir en ekvation som du löser.
- Förändringstakt: förändring i y delat med förändring i x. Tänk på enheten, till exempel km/h eller kr/st.
- Två funktioner är lika när graferna skär varandra. Sätt f(x) = g(x) och lös ekvationen.
Se upp för
- Sätt parentes runt negativa tal: f(−2) med x² ger (−2)² = 4.
- f(4) är inte f gånger 4.
- På en böjd graf ändras takten hela tiden. Det du räknar ut är ett medelvärde.
Kolla själv
- f(x) = x² − 3. Vad är f(−2)?
- f(x) = 5x + 4. För vilket x är f(x) = 29?
- En bil har kört 60 km efter 1 h och 240 km efter 3 h. Vad är medelhastigheten mellan dem?
Genomgång
En funktion är en regel som hör ihop två storheter. Du väljer ett värde på x, och regeln ger dig exakt ett värde på y. Priset beror på hur mycket du köper, och sträckan beror på hur länge du har cyklat.
En funktion kan visas på fyra sätt: med ord, med en formel, i en tabell och som en graf. Här tar vi en sak i taget.
Sätt in x i formeln för att få y.f(4) = funktionens värde när x = 4Förändringstakt = förändring i y / förändring i x
Exempel
y = 5x − 4, x = 6 → y = 5 · 6 − 4 = 26
f(x) = x² + 1 → f(−3) = (−3)² + 1 = 10
20 km efter 1 h och 50 km efter 3 h → (50 − 20) / 2 = 15 km/h
Vad är en funktion?
Tänk dig en maskin. Du stoppar in ett tal x. Maskinen följer en regel och ger tillbaka ett tal y. Samma x ger alltid samma y.
Regeln kan skrivas som en formel, till exempel y = 2x + 1. Den betyder "ta x gånger 2 och lägg till 1".
Exempely = 2x + 1 och x = 3
y = 2 · 3 + 1 = 6 + 1 = 7Värdetabell
I en värdetabell räknar du ut y för några olika x och skriver in dem. Tabellen visar hur y ändras när x ändras.
Exempely = 2x + 1
x = 0 ger y = 1, x = 1 ger y = 3 och x = 2 ger y = 5.
y ökar med 2 för varje steg.Grafen
Varje par i tabellen är en punkt (x, y). Pricka in punkterna i ett koordinatsystem och dra en linje genom dem. Då får du funktionens graf.
På grafen kan du läsa av y för ett x: gå till x på x-axeln, sedan rakt upp till grafen och sedan in till y-axeln.
ExempelGå till 3 på x-axeln och upp till linjen. Där är y = 7.
Det stämmer med formeln: 2 · 3 + 1 = 7.Skrivsättet f(x) Åk 9
Funktioner får ofta ett namn, till exempel f. Då skriver man f(x) i stället för y. Utläs "f av x".
f(4) betyder värdet av funktionen när x = 4. Byt x mot 4 i formeln.
Exempelf(x) = 3x − 2
f(4) = 3 · 4 − 2 = 12 − 2 = 10
f(x) = 13 betyder 3x − 2 = 13, alltså 3x = 15 och x = 5.Läsa av en graf Åk 9
Många grafer är inte raka linjer. Temperaturen under ett dygn stiger och sjunker. Grafen visar ändå ett värde för varje tidpunkt.
Där grafen går uppåt växer funktionen. Där den går nedåt avtar den. Den högsta punkten visar det största värdet.
ExempelKl. 9:00 var det 10 °C.
Temperaturen steg till kl. 15:00, då den var 18 °C. Sedan sjönk den.Förändringstakt Åk 9
Förändringstakten visar hur snabbt y ändras när x ändras. Dela förändringen i y med förändringen i x. Enheten blir y:s enhet per x:s enhet, till exempel km/h.
Ju brantare grafen är, desto större är förändringstakten. Är grafen vågrät är takten 0.
ExempelEfter 1 h har cyklisten åkt 20 km, efter 3 h 50 km.
(50 − 20) / (3 − 1) = 30 / 2 = 15 km/h i genomsnitt.
Exempel steg för steg
Exemplen går från lätt till svårt. Läs igenom lösningen och prova sedan själv i övningen.
- En taxi kostar y = 15x + 45 kr, där x är antal km. Vad kostar 8 km?LösningByt x mot 8.
y = 15 · 8 + 45 = 120 + 45 = 165Svar: 165 kr - Funktionen y = 4x − 3. Vad är y när x = 0?LösningEtt vanligt fel är att tro att svaret blir 0 eller 4. Gör som vanligt och byt x mot 0.
y = 4 · 0 − 3 = 0 − 3 = −3Svar: −3 - Funktionen är y = 4x + 9. Vad är y när x = 3?LösningByt x mot 3: y = 4 · 3 + 9 = 12 + 9 = 21Svar: 21
- Tabellen visar x = 1, 2, 3, 4 och y = 7, 10, 13, 16. Vad är y när x = 10?Lösningy ökar med 3 varje gång x ökar med 1. Det är talet framför x.
Ett steg bakåt: när x = 0 är y = 7 − 3 = 4.
Regeln: y = 3x + 4
y = 3 · 10 + 4 = 34Svar: 34 - En rät linje går genom (0, 2) och (1, 4). Vad är y när x = −2?LösningLinjen börjar i 2 på y-axeln och går 2 uppåt för varje steg åt höger.
Åt vänster går den lika mycket nedåt. Två steg åt vänster: 2 − 2 − 2 = −2.Svar: −2 - Tabellen visar en funktion. Vad är y när x = 9?
x 1 2 3 4 y 6 12 18 24 Lösningy ökar med 6 varje gång x ökar med 1. Det är talet framför x.
Ett steg bakåt från x = 1 ger y när x = 0: 6 − 6 = 0
Regeln: y = 6x
y = 6 · 9 = 54Svar: 54 - f(x) = 2x² − 5. Beräkna f(−3).LösningByt x mot −3. Sätt parentes runt talet, så att hela −3 kvadreras.
f(−3) = 2 · (−3)² − 5 = 2 · 9 − 5 = 18 − 5 = 13
Vanligt fel: −3² räknas som −9.Svar: 13 - f(x) = −4x + 6. För vilket x är f(x) = 26?LösningSkriv det som en ekvation: −4x + 6 = 26
Dra bort 6 på båda sidor: −4x = 20
Dela med −4: x = 20 / (−4) = −5
Kontroll: −4 · (−5) + 6 = 20 + 6 = 26Svar: x = −5 - f(x) = 2x − 6. För vilket x är f(x) = −18?LösningSkriv det som en ekvation: 2x − 6 = −18
Lägg till 6 på båda sidor: 2x = −12
Dela med 2: x = −12 / 2 = −6Svar: −6 - Ett abonnemang kostar f(x) = 20x + 250 kr och ett annat g(x) = 45x + 50 kr, där x är antal GB. När kostar de lika mycket, och vilket är billigast om du använder 10 GB?LösningSätt f(x) = g(x): 20x + 250 = 45x + 50
250 − 50 = 45x − 20x, alltså 200 = 25x och x = 8.
Vid 10 GB: f(10) = 20 · 10 + 250 = 450 kr och g(10) = 45 · 10 + 50 = 500 kr.Svar: Lika mycket vid 8 GB. Vid 10 GB är f billigast. - En sten faller s(t) = 5t² meter på t sekunder. Hur snabbt faller den i genomsnitt mellan t = 1 och t = 3?Lösnings(1) = 5 · 1² = 5 m och s(3) = 5 · 3² = 45 m
Förändringstakten: (45 − 5) / (3 − 1) = 40 / 2 = 20 m/s
Grafen är inte rak, så stenen faller allt snabbare. 20 m/s är ett medelvärde.Svar: 20 m/s - Två gym: det ena kostar f(x) = 30x + 200 kr och det andra g(x) = 40x + 90 kr, där x är antal besök. För vilket x kostar de lika mycket?LösningSätt f(x) = g(x): 30x + 200 = 40x + 90
Dra bort 30x och 90 på båda sidor: 200 − 90 = 40x − 30x
110 = 10x
x = 110 / 10 = 11
Kontroll: f(11) = 530 och g(11) = 530Svar: 11